- Hilbert-Raum
- Hịlbert-Raum[nach D. Hilbert], ein Vektorraum V über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen mit einem Skalarprodukt, der hinsichtlich der durch dieses Skalarprodukt induzierten Norm vollständig (Vollständigkeit) ist. Bezeichnet <, > : V × V → C (oder ℝ) das Skalarprodukt und ist x ein Vektor aus V, so wird die durch das Skalarprodukt induzierte Norm definiert durch den Ausdruck ||x||:=. In der Regel bezeichnet man nur unendlichdimensionale Vektorräume als Hilbert-Raum. Beispiele hierfür sind der Raum aller auf dem Intervall [a, b] integrierbaren Funktionen mit dem durch die nachfolgende Formel definierten Skalarprodukt(f, g stetige Funktionen auf [a, b] ) und der Raum der quadratsummablen Folgen komplexer (reeller) Zahlen, das sind FolgenDer Hilbert-Raum ist eine besonders markante Begriffsbildung, da er geometrische Vorstellungen (z. B. kann man im Hilbert-Raum vom Einheitswürfel, von Hyperebenen und demgleichen sprechen) mit analytischen Methoden (z. B. Integration) verknüpft.Der Begriff des Hilbert-Raums entwickelte sich in der Zeit nach 1905 im Zuge der Beschäftigung mit so genannten abstrakten Räumen einerseits (M. Fréchet, S. Banach) und aus der Untersuchung von Integralgleichungen (D. Hilbert, V. Volterra) andererseits. Eine axiomatische Fassung gab J. von Neumann (1929). Die Theorie der Hilbert-Räume, die ursprünglich als rein mathematische Theorie entwickelt wurde, nahm einen gewaltigen Aufschwung, als man Ende der 1920er-Jahre entdeckte, dass sie eine bequeme Formulierung der Quantenmechanik zulässt. Hilbert-Räume werden heute im Rahmen der Funktionalanalysis untersucht.
Universal-Lexikon. 2012.
